Zrobiłem zadanie jak w temacie... Właściwie nie całe, bo wyszło, że w jednym z punktów stacjonarnych kryterium nie rozstrzyga czy jest ekstremum, czy nie... (Chociaż możliwe, że to dlatego, że się gdzieś pomyliłem - późno jest troche :D)
Dobrze by było, żeby ktoś sprawdził czy jest dobrze i dał znać. Ewentualnie poprawił.
Aha - i jak się sprawdza, czy jest ekstremum, skoro nie rozstrzyga tego kryterium (to o drugich pochodnych :P)??
z4 zest egz1.odf
"4. Wyznaczyć, jeśli istnieją, ekstrema funkcji" ~ f(x,y)= x - y over x + ln(xy)
newline
newline
"Pochodne cząstkowe:"
newline
{{partial f} over {partial x}} = 1+y cdot (x^{-2})+1 over xy cdot y=1+ y over x^2 + 1 over x = {x^2+x+y} over x^2
newline
{{partial f} over {partial y}} = 0 - 1 over x + 1 over xy cdot x = 1 over y - 1 over x = {x-y} over xy
newline
"Przyrównujemy pochodne do zera szukając punktów stacjonarnych:"
newline
{{partial f} over {partial x}}: ~ x^2+x+y=0 dlrarrow y=-x^2-x
newline
{{partial f}over{partial y}}: ~ x-y=0 dlrarrow y=x
newline
"Rozwiązanie układu równań:"
newline
x=-x^2-x dlrarrow 0=-x^2-2x dlrarrow 0=-x(x+2) dlrarrow 0=x(x+2) dlrarrow x=0 | x=-2
newline
"Punkty stacjonarne:"
newline
(0,0) "oraz" (-2, -2)
newline
"Czas na pochodne drugiego rzędu:"
newline
{{partial^2 f} over {partial x^2}} = {partial over {partial x}} (1+ y over x^2 + 1 over x)= 0-y cdot 2 over x^3 - 1 over x^2 = {-2y-x} over x^3
newline
{{partial^2 f} over {partial y^2}} = {{partial} over {partial y}} (1 over y - 1 over x) = -1 over y^2-0= - {1 over y^2}
newline
{{partial^2 f} over {partial x partial y}} = {{partial^2 f} over {partial y partial x}}= {{partial} over {partial x}} (1 over y - 1 over x)=0+1 over x^2=1 over x^2
newline
"Wyliczamy wartości drugich pochodnych dla punktu stacjonarnego (0, 0):"
newline
{{partial^2 f} over {partial x^2}} _ (0, 0) = 0
newline
{{partial^2 f} over {partial y^2}} _ (0, 0) = 0
newline
{{partial^2 f}over{partial x partial y}} _ (0, 0) = 0
newline
"Wyliczamy wartości drugich pochodnych dla punktu stacjonarnego (-2, -2):"
newline
{{partial^2 f} over {partial x^2}} _ (-2, -2) = - {3 over 4}
newline
{{partial^2 f} over {partial y^2}} _ (-2, -2) = - {1 over 4}
newline
{{partial^2 f}over{partial x partial y}} _ (-2, -2) = 1 over 4
newline
"W pierwszym przypadku kryterium nie określa (niestety) czy jest ekstremum,"
newline
"(wyznacznik =" (1 over 4)^2 - (- {3 over 4}) cdot (- {1 over 4})=1 over 16 - 3 over 16 = - { 2 over 16 } < 0 ")"
newline
"czy go nie ma, natomiast w drugim przypadku mamy ekstremum i jest to maksimum"
|
Ogólnie rzecz biorąc coś się nie zgadza. W istocie prawdą jest że w (-2,-2) będzie ekstremum maksimum oraz w (0,0) nie będzie aczkolwiek coś jest nakombinowane z lekka, gdyż ten wyznacznik ujemny podejrzane wrażenie sprawia.
|