WEiTI M3 - 2007

1.odf

"1. Wyzaczyć największą wartość funkcji" ~ F(x)= int from x to 2x {{tdt} over {t^2+2t+2}} ~ "w przedziale <-2; -1>."
newline
"Rozbijamy całkę na dwie:"
newline
F(x)=int from x to 2x {{tdt} over {t^2+2t+2}} = int from c to 2x {{tdt} over {t^2+2t+2}} - int from c to x {{tdt} over {t^2+2t+2}}
newline
"Wyznaczamy pochodną funkcji:"
newline
F'(x)={{t} over {t^2+2t+2}}_ {t=2x} cdot 2 - {{tdt} over {t^2+2t+2}} _ {t=x} =
{{4x} over {4x^2+4x+2}} - {{x} over {x^2+2x+2}}= `
newline
` ={{2x(x^2+2x+2)-x(2x^2+2x+1)} over {(x^2+2x+2)(2x^2+2x+1)}}=
{{x(2x^2+4x+4-2x^2-2x-1)} over {(x^2+2x+2)(2x^2+2x+1)}}={{2x^2+3x} over {(x^2+2x+2)(2x^2+2x+1)}}
newline
"Sprawdzamy ekstrema:"
newline
2x^2+3x=0 dlrarrow x(2x+3)=0 dlrarrow ( x=0 | x= - {3 over 2} ) & x in langle -2; -1 rangle drarrow x= - {3 over 2}
newline
"a teraz wartość całki :\ "
newline
int {{tdt} over {t^2+2t+2}} = int {{t+1-1} over {(t+1)^2+1}} = {{1} over {2}} {int {{2t+2} over {t^2+2t+2}} dt} underbrace {ln} - int {{1} over {(t+1)^2+1}} dt = {1 over 2} ln {t^2+2t+2} - arctg (t+1)
newline
"Wracając do całki oznaczonej:"
newline
left ldbracket {1 over 2} ln{(t^2+2t+2)} - arctg (t+1) right rdbracket _x ^2x = ({1 over 2} ln{((2x)^2+2(2x)+2)} - arctg {((2x)+1)}) - ({1 over 2} ln{(x^2+2x+2)} - arctg {(x+1)})=`
newline
`= {1 over 2} ln{((2x)^2+2(2x)+2)} - {1 over 2} ln{(x^2+2x+2)} - arctg {((2x)+1)} + arctg {(x+1)}

Mam nadzieje, że to można już tak zostawić