WEiTI M3 - 2007

Co do ciągłości to 1 jest dobrze i jest najbardziej elegancka, nr 2 i 3 podobają mi się średnio lub wcale gdyż musisz dla różnych a jeszcze dalej sprawdzać, a po co gdzyż azaliż w pierwszym już wszystko jest ładnie udowodnione że ta granica wynosi jeden, a jeden to nie 0.
Skoro udowodniliśmy nieciągłość funkcji w (0,0) to wiadomo że nie będzie w niej pochodnych cząstkowych.

P.S. Jakoś bałagan się na forum zrobił, można się pogubić.

Hmmm... znalazłem tylko tyle, że ciągłość nie jest ani WW ani WK istnienia pochodnych cząstkowych... Czy to nie znaczy, że mimo, że funkcja nie jest ciągła w tym punkcie, to może tam być pochodna po x albo po y??

Możliwe, że czegoś nie doczytałem...

Ale niestety nie można uznać że z nieciągłości funkcji wynika że nie ma pochodnych cząstkowych.
Wiec i tak trzeba je sprawdzać w woli wyjaśnienia. Licząc pochodne albo ze wzoru albo z definicji granice. A co do tego przykładu: to w w (0,0) pochodna po x wyszła co prawda 0/x tak jak u ciebie ale ponieważ w liczniku mamy tożsamościowe zero (czyli takie że niezależne od zmiennej) to pochodna w punkcie istnieje i jest równa zero (przynajmniej tak mućka mówiła kiedyś!! co to nie mogła sie do tego przyzwyczaić), ale pochodna po y to 2/y i nie istnieje, ale tutaj trzeba jeszcze dobrać ciągi 1/n i -1/n by wykazać ze granica nie istnieje. bo z jednej strony wyjdzie, że jest nieskończoność, a z drugiej (-nieskończoność) czyli z definicji jakiegoś......buraka granica nie istnieje czyli nie ma wartości pochodnej cząstkowej w punkcie (0,0).

Ale jak już wyżej wspomniałem pochodna po x istnieje i można sprawdzać jej ciągłość licząc dodatkowo granice wzoru na pochodną cząstkową po odpowiedniej zmiennej w punkcie danym w zadaniu. jeżeli jeszcze ktoś nie zwątpi:)

co do tej pierwszej pochodnej to takie cos jest na pewno dobrze bo jakbys probowal dowieść że to nie ma granicy to musialbys znowu znalezc dwa rozne ciagi dozace do zera takie by granice byly rozne a takich ciagow nie znajdziesz bo przeciez 0*cokolwiek=0 i 0/cokolwiek=0 i tego sie nie zmieni wiec zawsze granice beda rowne (no chyba ze dr. Zając to zdementuje i naprzyklad wymysli nowa liczbe:P, ale to chyba nie grazi przed sesja)

Ostatnio edytowany przez zordon (2007-08-31 12:20:27)

W ten sposób rozumując wychodzi na to że granica funkcji x/x  dla x->0 nie istnieje bo przecież jest to 0* nieskończoność a wiadomo że można sobie skrócić x/x i zostanie jeden. I przypominam ci że symbol nieoznaczony o niczym nie przesądza i np podnosząc -nieskończoność do kwadratu otrzymujemy +nieskończoność (co jest bardziej abstrakcyjne jak mnożąc liczbę zero (nie wartość funkcji która w swoim przebiegu się zmienia) przez nieskończoność otrzymujemy zero) i dlatego funkcja 1/x^2 ma granice obustronną niewłaściwą +nieskończoność a funkcja 1/x nie ma jej wcale chociaż w obu przypadkach mamy symbole nieoznaczone. Więc działania arytmetyczne są dozwolone. I dlatego mówię że o ile mamy sytuację taką że w liczniku mamy liczbę zero stałą niezależna od zmiennych to można to sobie uprościć i napisać po prostu zero. Zresztą jak narysujesz sobie wykres tej funkcji (interpretacja geometryczna granicy) to widać już że granica funkcji 0/x istnieje i jest to po prostu zero.

Faktycznie, na 99% mnie przekonałeś. Dziękuję.